Kaffebaren sælger flere iskaffer om sommeren end om vinteren. Det ved alle i baren, uden at nogen har set et diagram. Spørgsmålet er et andet: hvor meget flere, og hvor tæt følger salget egentlig temperaturen?
Det spørgsmål kan hverken en søjle eller en linje svare på. De viser én størrelse fordelt på kategorier eller på tid. Her er der to størrelser, hvoraf ingen er tid. Diagramtypen hedder et punktdiagram, på engelsk et scatter plot, altså en spredning af punkter i et koordinatsystem, hvor hvert punkt bærer to tal på én gang.
Punktdiagrammet bliver brugt mindst af de seks grundtyper og misbrugt mest, når det endelig kommer i brug. Oversigten over dem alle ligger i artiklen om de seks grundtyper. Herfra handler det om punktdiagrammet alene, og især om, hvorfor man altid skal tegne sine data, før man regner på dem.
Punktdiagrammet svarer på et andet spørgsmål
De tre slags budskaber er sammensætning, sammenligning og sammenhæng. Punktdiagrammet er diagramtypen til sammenhængen. Det viser, om to størrelser følges ad, hvor stærkt de gør det, og hvor undtagelserne ligger.
Hvert punkt er én iagttagelse med to koordinater. I kaffebarens tilfælde er hver måned et punkt, hvor x er middeltemperaturen i grader celsius, og y er antallet af solgte iskaffer. Der er tolv punkter, ét for hver måned i 2025. Rækkefølgen mellem punkterne er ligegyldig. Skulle man læse dem i rækkefølge, ville tid være den ene akse. Så er det et linjediagram. Forskellen på de to er beskrevet fra den anden side i artiklen om linjediagrammet.
Derfor må der aldrig gå streger mellem punkterne. En streg mellem to punkter siger, at der er en vej fra det ene til det andet, og at punkterne har en rækkefølge. Det har de ikke. Værktøjet tilbyder gerne et punktdiagram med forbindelseslinjer. Det tilbud skal afvises.
Sådan bygges punktdiagrammet
Begge akser bliver stående, og enheden skrives for enden af hver af dem. Uden enheder er et punktdiagram ulæseligt, fordi læseren ikke ved, hvad afstandene betyder. Aksetitlerne skal være så korte, at de kan læses i ét blik: middeltemperatur i grader celsius og solgte iskaffer om måneden.
Punkterne selv skal være store nok til at ses og gennemsigtige nok til, at to punkter oven på hinanden kan skelnes. Kun de punkter, der bærer budskabet, bliver fremhævet. Fremhæver man alle tolv med navn og tal, forsvinder den sky, der var det egentlige billede.
Her er to punkter fremhævet, fordi de markerer skyens yderpunkter i salget. Juli havde 18,0 grader og 1.330 solgte iskaffer, som er årets højeste. Februar havde 1,8 grader og 150, som er årets laveste. De to tal fortæller, hvad hele skyen spænder over. Resten af punkterne behøver hverken navn eller tal for at gøre deres arbejde.
Trendlinjen er en påstand
En trendlinje er let at bede om og svær at forsvare. Den er et regnestykke, som værktøjet tegner som en streg. Den skal derfor ledsages af de tal, den bygger på. Uden dem er den bare en linje, nogen har tegnet gennem en sky.
Kravet er, at antallet af iagttagelser, korrelationen, forklaringsgraden og p-værdien står ved siden af linjen. I kaffebarens diagram er der tolv måneder, korrelationen er 0,967, forklaringsgraden R² er 0,935 og p-værdien er under 0,001. Det er stærkt, og så stærkt skal det også være, før en trendlinje overhovedet er værd at tegne.
Selv en perfekt trendlinje siger kun, at de to størrelser følges ad, ikke hvad der driver hvad. Iskaffesalget kunne følge temperaturen, fordi varme gør folk tørstige. Det kunne også følge skoleferien, turistsæsonen eller den terrasse, der først kommer ud i maj. Alle fire forklaringer giver den samme sky af punkter. Diagrammet kan ikke skelne dem. Hvordan man arbejder med den forskel, er emnet for artiklen om korrelation kontra kausalitet.
Boblediagrammet som tredje dimension
Skal en tredje størrelse med, kan punkterne få forskellig størrelse. Diagramtypen hedder et boblediagram, på engelsk et bubble chart, og arealet bærer den tredje værdi. Kaffebaren kan for eksempel lade x være temperaturen, y være antallet af iskaffer og boblens areal være omsætningen den måned.
Boblen skal bruges med måde. Cleveland og McGill rangordnede, hvor præcist mennesker aflæser forskellige grafiske elementer. Position på en fælles skala ligger øverst, mens areal ligger langt nede. Den tredje størrelse bliver altså aflæst langt dårligere end placeringen langs de to akser. Derfor skal den mindst vigtige af de tre altid være den, der ligger i boblens areal. Boblerne skal desuden være få. Tolv cirkler i forskellige størrelser holder op med at være et diagram og bliver et mønster.
| Godt til | Pas på med |
|---|---|
| To målte størrelser, hvor ingen af dem er tid | Streger mellem punkterne |
| Mange iagttagelser, gerne over hundrede | Trendlinje uden forklaringsgrad og p-værdi |
| At finde de punkter, der falder uden for mønstret | At læse årsag ud af en sammenhæng |
| En tredje størrelse som boblens areal | Fremhævning af alle punkter på én gang |
Anscombes kvartet
Det stærkeste argument for overhovedet at tegne et punktdiagram blev fremlagt af statistikeren F. J. Anscombe i 1973. Han byggede fire datasæt med elleve punkter hver og gav dem den samme statistik hele vejen igennem. Gennemsnittet af x er 9 i alle fire. Variansen af x er 11 i alle fire. Gennemsnittet af y er 7,50, variansen af y er 4,125 og korrelationen er 0,816. Alle fire giver den samme regressionslinje, y = 3,00 + 0,500x, med en forklaringsgrad på 0,67.
En tabel med de tal ville sige, at de fire datasæt er ens. Det er de ikke.
Det første er en almindelig lineær sammenhæng med spredning omkring linjen. Det andet er tydeligt krumt. En ret linje er den forkerte model fra begyndelsen. I det tredje ligger punkterne næsten på en perfekt linje, hvor ét enkelt punkt trækker regressionen skævt. Det sidste datasæt består af ti punkter på den samme x-værdi og ét punkt langt ude, der alene bestemmer hele linjen. Fire vidt forskellige billeder giver altså det samme regnestykke.
Det tredje og det sidste datasæt er samtidig den bedste forklaring på, hvorfor man skal se på sine yderpunkter, før man regner. Et enkelt punkt kan flytte både hældning og forklaringsgrad mærkbart. Hvad man stiller op med sådan et punkt, er emnet for artiklen om outliers. Anscombes egen konklusion var, at tallene alene ikke er nok. Man skal tegne sine data hver gang, også når statistikken ser pæn ud.
Kort sagt
Et punktdiagram svarer på, om to målte størrelser følges ad, når ingen af dem er tid. Hvert punkt er én iagttagelse med to koordinater. Rækkefølgen mellem punkterne betyder intet. Derfor må der aldrig gå streger imellem dem. Behold begge akser, skriv enheden for enden af hver og fremhæv kun de få punkter, budskabet handler om.
En trendlinje er et regnestykke og skal ledsages af antal iagttagelser, korrelation, forklaringsgrad og p-værdi. Selv da siger den kun, at to størrelser følges ad, ikke hvad der driver hvad. Skal en tredje størrelse med, kan den ligge i boblens areal, men den bliver aflæst dårligst af de tre og skal derfor være den mindst vigtige. Anscombes fire datasæt med den samme statistik og fire forskellige billeder er grunden til, at man tegner først og regner bagefter.