Korrelation fortæller dig, om to talkolonner følges ad, og hvor stærkt. Men den siger ikke, hvor meget den ene ændrer sig, når den anden gør. Det gør regression. Regression lægger den bedst mulige rette linje gennem dine punkter, den såkaldte tendenslinje, og med den kan du både sætte tal på sammenhængen og forudsige. Ligesom korrelation gælder det kun numeriske, kontinuerte data (se Datatyper og skalaer).
Tendenslinjen: y = a·x + b
Enhver ret linje kan beskrives med ligningen y = a·x + b. Regression finder netop de to tal, a og b, der får linjen til at ligge så tæt på punkterne som muligt.
Det vigtigste tal er hældningen a. Den fortæller, hvor meget y ændrer sig, hver gang x vokser med én. I eksemplet er a = 2,5, altså: for hver 1.000 kr. mere i markedsføring stiger salget med 2.500 kr. Det er her, regression slår korrelation, for den oversætter “de følges ad” til en konkret, brugbar størrelse.
Den slags hældning dukker op overalt. Har du erfaring på x-aksen og løn på y-aksen, kan a fortælle, at lønnen i gennemsnit stiger med for eksempel 8.000 kr. pr. års anciennitet. Sætter du udetemperaturen op mod issalget, siger a måske, at der sælges 300 is mere for hver grad, det bliver varmere. Og med kørte kilometer mod benzinforbrug bliver a ganske enkelt bilens forbrug pr. kilometer. Skæringen b er, hvor linjen rammer y-aksen, altså den forventede værdi, når x er nul. Og fordi du nu har en ligning, kan du forudsige: sætter du en ny x ind, giver linjen dig et bud på y. Ved et markedsføringsbudget på 60 forudsiger linjen et salg på 190.
Sådan findes linjen: mindste kvadraters metode
Men hvad vil “den bedst mulige linje” egentlig sige? Man kan tegne uendeligt mange linjer gennem en punktsky; regression vælger én bestemt efter en klar regel.
For hver observation måler man den lodrette afstand op eller ned til linjen. Den afstand kaldes en residual og er udtryk for, hvor meget linjen tager fejl for netop det punkt. Regression vælger så præcis den linje, hvor disse afstande tilsammen er mindst mulige. Nærmere bestemt kvadrerer man hver afstand og gør summen af kvadraterne så lille som muligt, deraf navnet mindste kvadraters metode.
Hvorfor kvadrere? Af nøjagtig samme to grunde som ved variansen: kvadreringen fjerner fortegnet, så afstande over og under linjen ikke går ud med hinanden, og den får de store afvigelser til at veje ekstra tungt, så linjen især undgår at ramme helt ved siden af. Resultatet er én entydig linje, der balancerer punkterne bedst muligt.
R²: hvor godt passer linjen?
En tendenslinje kan altid tegnes, men den er ikke altid noget værd. Det, der afgør, hvor meget du kan stole på den, er forklaringsgraden R², et tal mellem 0 og 1, der siger, hvor stor en del af variationen i data linjen forklarer.
Ligger punkterne tæt om linjen, er R² tæt på 1, og linjen beskriver sammenhængen godt nok til, at forudsigelser er til at stole på. Spreder punkterne sig langt fra linjen, er R² lav, og selv om linjen har samme hældning, er den nu et dårligt grundlag at forudsige ud fra. To datasæt kan altså give præcis samme hældning, men vidt forskellig forklaringsgrad, så kig altid på både a og R².
Hvad er så en god R²? En grov tommelfingerregel ser sådan ud:
| R² | Hvad det typisk betyder |
|---|---|
| under 0,3 | Svag. Linjen forklarer kun lidt; sammenhængen kan være reel, men forudsigelser er usikre. |
| 0,3 – 0,7 | Moderat. En tydelig, men støjfyldt sammenhæng. Brugbar med forbehold. |
| over 0,7 | Stærk. Linjen forklarer det meste af variationen og egner sig godt til forudsigelse. |
Men, og det er vigtigt, der findes ingen universel grænse for, hvad der er “godt”. Det afhænger helt af feltet. I fysik og teknik forventer man ofte R² over 0,9, fordi målingerne er præcise og styret af naturlove. I data om mennesker, altså adfærd, økonomi og markedsføring, er selv 0,2 til 0,3 både normalt og nyttigt, fordi virkeligheden er støjfyldt. Statistikeren Jacob Cohen foreslog for netop den slags data den tommelfingerregel, at R² omkring 0,02 er en lille effekt, 0,13 en middel og 0,26 en stor. En lav R² betyder derfor ikke, at sammenhængen er ligegyldig; den kan sagtens afsløre en reel effekt, den forklarer bare ikke det hele. Vurdér altid R² i lyset af, hvad der er normalt i din branche, og hvad du skal bruge tallet til.
Indekserede grafer: sammenlign udvikling
En beslægtet udfordring dukker op, når du vil sammenligne flere tidsserier, der har vidt forskellige størrelser. Sætter du BNP i milliarder, beskæftigelse i tusinder af personer og bilsalg på samme akse, drukner de små tal, og du kan intet se. Løsningen er at indeksere.
Sådan virker det: du dividerer hver værdi i en serie med seriens startværdi og ganger med 100. Startpunktet bliver dermed altid 100, og alt andet aflæses i forhold til det. Indeks 140 betyder “vokset 40 % siden start”, og indeks 90 betyder “faldet 10 %”. For bilsalget ser regnestykket sådan ud:
| År | Rå tal | Indeks | Udregning |
|---|---|---|---|
| 1 | 150 | 100 | 150 / 150 × 100 |
| 4 | 210 | 140 | 210 / 150 × 100 |
| 8 | 280 | 187 | 280 / 150 × 100 |
Så snart alle kurver starter samme sted, bliver deres relative udvikling sammenlignelig. Her ser man med det samme, at køb af køretøjer er vokset klart mest, mens beskæftigelsen næsten står stille, en indsigt, der var helt usynlig i de rå tal. Indeksering er et enkelt, men stærkt greb, hver gang det er udviklingen og ikke de absolutte niveauer, der er interessant.
Pas på undervejs
Regression er kraftfuld, men den fritager dig ikke fra at tænke. For det første gør en tendenslinje ikke en sammenhæng til en årsag; alle forbeholdene fra Korrelation ≠ kausalitet gælder stadig, uanset hvor pæn linjen er. For det andet er linjen følsom over for outliers: fordi metoden straffer store afstande ekstra hårdt, kan en enkelt ekstrem værdi vippe hele linjen og forvride både hældning og R², så tegn altid dine data i et punktdiagram først. For det tredje skal du være varsom med at forlænge linjen langt ud over de data, du faktisk har; en sammenhæng, der holder inden for det målte område, behøver ikke gælde udenfor. Og endelig antager denne form for regression en ret linje, så hvis punkterne tydeligt buer, fortæller en ret linje en forkert historie.
Sådan gør du i Excel
Den nemmeste vej er at lave et punktdiagram og højreklikke på punkterne for at tilføje en tendenslinje; sæt flueben i at vise ligningen og R² på grafen, så har du det hele. Vil du have tallene direkte, giver =HÆLDNING() dig a, =SKÆRING() giver b, og =RKVADRAT() giver R². Til selve forudsigelsen kan du bruge =TENDENS() eller =PROGNOSE().
Kort sagt
Hvor korrelation viser, at to tal følges ad, giver regression dig linjen igennem dem: fundet ved at gøre afstandene til punkterne mindst mulige, med en hældning der sætter et konkret tal på sammenhængen, og en ligning du kan forudsige med. Tjek altid R² for at vide, hvor meget linjen er værd, og hold den op mod, hvad der er normalt i dit felt. Brug indeksering, når du sammenligner udviklinger af forskellig størrelse. Og husk, at en flot linje hverken beviser årsag eller tåler en outlier. Så er regression et af de skarpeste værktøjer, du har, til at finde og bruge sammenhænge i dine data.