Et gennemsnit er ét tal, der forsøger at fange midten af et datasæt. Men to datasæt kan have præcis det samme gennemsnit og alligevel være vidt forskellige, fordi det ene ligger tæt samlet og det andet ligger spredt ud over hele skalaen. Gennemsnittet siger intet om det. For at beskrive dine data ærligt skal du derfor kende ikke bare deres midte, men også deres spredning. Hvor tit gennemsnittet i sig selv kan narre dig, kan du læse om i Gennemsnit kan snyde; her handler det om det tal, der fortæller, hvad gennemsnittet holder skjult.
Tag et konkret eksempel. Seks venner taler løn. Én tjener 400.000 kr., to tjener 625.000, og tre tjener 750.000. Gennemsnittet er 650.000 kr. Ved nabobordet sidder seks andre, som også har en gennemsnitsløn på 650.000: tre studerende tjener 80.000, 90.000 og 130.000, mens tre har nået topstillinger til 1,1, 1,2 og 1,3 mio. Samme gennemsnit, to helt forskellige virkeligheder.
Den første gruppe er homogen: lønningerne ligger tæt sammen, og gennemsnittet på 650.000 beskriver dem alle nogenlunde godt. Den anden gruppe er heterogen: ingen af de seks tjener i nærheden af 650.000, og gennemsnittet peger på en person, der slet ikke findes ved bordet. Spredningen er præcis det mål, der adskiller de to. Den fortæller, hvor homogene eller heterogene observationerne er, og den beregnes ud fra, hvor langt observationerne i gennemsnit ligger fra gennemsnittet. Den forskel træder også tydeligt frem i et histogram, hvor den homogene gruppe giver en smal, samlet form og den heterogene en bred, splittet en.
Bemærk med det samme, at spredning kun giver mening for numeriske data, altså interval- eller ratio-skala, hvor afstande kan måles (se Datatyper og skalaer). Det giver ingen mening at tale om spredningen af farver eller postnumre; her kan man kun tælle, hvor mange der er af hver.
Fra afstand til standardafvigelse
Idéen bag spredning er enkel: mål, hvor langt hver observation ligger fra gennemsnittet, og saml de afstande til ét tal. Problemet er, at halvdelen af afstandene er negative (dem under gennemsnittet) og halvdelen positive, så de går ud med hinanden, hvis man bare lægger dem sammen. Løsningen er at kvadrere hver afstand. Så forsvinder fortegnet, og de store afstande kommer til at veje ekstra tungt. Gennemsnittet af de kvadrerede afstande kaldes variansen.
Variansen har bare en irriterende egenskab: fordi vi kvadrerede undervejs, er den i kvadrerede enheder. Regner vi på kroner, er variansen i “kroner i anden”, hvilket ikke er til at forholde sig til. Derfor tager vi til sidst kvadratroden af variansen, og så er vi tilbage i almindelige kroner. Det tal kaldes standardafvigelsen, og det er det, man i praksis bruger. Standardafvigelsen kan læses som den typiske afstand fra gennemsnittet.
For den homogene gruppe giver regnestykket en standardafvigelse på cirka 125.000 kr., mens den heterogene gruppe lander på cirka 553.000. Begge har samme gennemsnit, men standardafvigelsen er over fire gange så stor i den spredte gruppe. Det er hele pointen: standardafvigelsen sætter et tal på den forskel, gennemsnittet ikke kan se.
Stikprøve eller population: .S eller .P
Der findes to udgaver af varians og standardafvigelse, og forskellen er værd at forstå. Har du hele populationen med, altså samtlige tal du interesserer dig for, bruger du populationsformlen, hvor der divideres med antallet n. Har du derimod kun en stikprøve og vil bruge den til at sige noget om en større population, bruger du stikprøveformlen, hvor der divideres med n − 1. Den lille korrektion gør stikprøvens standardafvigelse en anelse større og kompenserer for, at en stikprøve næsten altid undervurderer den sande spredning.
I praksis arbejder man oftest med stikprøver, så stikprøveformlen (.S) er standardvalget. I Excel er funktionerne =VARIANS.S() og =STDAFV.S() til stikprøven, mens =VARIANS.P() og =STDAFV.P() er til hele populationen. Vil du kontrollere sammenhængen, kan du tage kvadratroden af variansen og se, at den giver standardafvigelsen.
Hvad bruger man standardafvigelsen til
Ud over at beskrive homogenitet er standardafvigelsen byggesten i flere andre værktøjer. Den er selve målestokken bag z-score-metoden til at finde outliers, hvor man netop måler, hvor mange standardafvigelser en værdi ligger fra gennemsnittet. Og for pænt symmetriske, klokkeformede fordelinger gælder en nyttig tommelfingerregel: cirka to tredjedele af observationerne ligger inden for én standardafvigelse fra gennemsnittet, og næsten alle inden for tre.
Men standardafvigelsen deler en svaghed med gennemsnittet: den bygger på det, og begge trækkes skævt af de samme ekstreme værdier. En enkelt kraftig outlier kan blæse standardafvigelsen op, så data ser mere spredte ud, end de i virkeligheden er. Derfor er det ofte klogt at supplere med et spredningsmål, der ikke lader sig rive med af yderpunkterne, og det fører os til fraktilerne.
Fraktiler og percentiler
En fraktil (eller percentil) deler dine sorterede data op efter andele. Den 25. percentil er den værdi, som en fjerdedel af observationerne ligger under; medianen er den 50. percentil; den 75. percentil har tre fjerdedele under sig. De tre kaldes tilsammen kvartilerne, nedre kvartil (Q1), median og øvre kvartil (Q3), og afstanden mellem Q1 og Q3 er kvartilafstanden IQR, som du kender fra Outliers. Fraktiler er robuste: de bygger på rækkefølge, ikke på afstande, så et enkelt ekstremt tal flytter dem knap nok.
Forestil dig omsætningen pr. kunde i et supermarked. En fraktiltabel kunne se sådan ud:
| Fraktil | Omsætning pr. kunde |
|---|---|
| 25 % (nedre kvartil, Q1) | 190 kr. |
| 50 % (median) | 433 kr. |
| 75 % (øvre kvartil, Q3) | 933 kr. |
| 90 % (percentil) | 1.931 kr. |
Tabellen fortæller, at halvdelen af kunderne lægger under 433 kr., mens de øverste 10 % lægger over 1.931. Det er en langt rigere beskrivelse end et gennemsnit alene, og den viser med det samme, om kunderne ligner hinanden eller spreder sig. I Excel finder du kvartilerne med =KVARTIL.MEDTAG(matrix; 1) og =KVARTIL.MEDTAG(matrix; 3) og en vilkårlig percentil med =FRAKTIL.MEDTAG(matrix; 0,9) for den 90.
80/20-reglen og ranglister
Fraktiltankegangen fører naturligt til en af de mest brugbare tommelfingerregler i forretning, 80/20-reglen (også kaldet Pareto-princippet): en lille del af årsagerne står ofte for størstedelen af virkningen. Typisk kommer omkring 80 % af omsætningen fra omkring 20 % af kunderne, 80 % af klagerne fra 20 % af sagerne, og så videre. Tallene er ikke en naturlov, men et mønster, der dukker op igen og igen.
Sorterer du dine kunder efter, hvor meget de bidrager, og tegner den kumulerede andel, får du kurven ovenfor. Den stiger stejlt i starten og fladt bagefter, netop fordi de få øverste bidrager med så meget. Den kumulerede kurve er i virkeligheden en fraktilkurve set fra oven. Den slags rangliste er guld værd, når der skal prioriteres: hvem er de 20 % mest profitable kunder, og hvad køber de? Hvor meget belaster de 20 % mest krævende sager kundeservicen? En rangliste eller en fraktiltabel gør det synligt, hvor indsatsen har størst effekt.
Kort sagt
Gennemsnittet fortæller, hvor midten ligger; spredningen fortæller, hvor meget dine data flakker omkring den. De to hører sammen, og du bør sjældent oplyse det ene uden det andet. Brug standardafvigelsen som det almindelige mål for spredning, men vær på vagt over for outliers, der kan puste den op, og supplér da med de robuste fraktiler. Og husk 80/20-reglen, når du skal finde ud af, hvor du får mest for indsatsen. Så snart du kender både midten og spredningen, er du gået fra at ane, hvordan dine data ser ud, til faktisk at vide det.