Du kan kende et datasæts gennemsnit, dets median og dets spredning og stadig ikke ane, hvordan det egentlig ser ud. Tre tal er en kort beskrivelse; billedet er bedre. Et histogram er netop det billede. Det viser, hvordan dine observationer fordeler sig, og på ét blik afslører det, hvad tallene alene skjuler: hvor tyngden ligger, om fordelingen er skæv, om der er to grupper i stedet for én, og om der stikker enkelte ekstreme værdier ud.
Et histogram er en hurtig måde at få overblik over fordelingen af en variabel med mange forskellige værdier. Man deler tallenes akse op i intervaller og tæller, hvor mange observationer der falder i hvert interval. Hvert interval bliver til en søjle, og jo flere observationer i intervallet, jo højere søjle. Hvert af disse intervaller kaldes en kasse (på engelsk en “bin”, altså en beholder). Fordi et histogram grupperer efter afstande på en talakse, giver det kun mening for numeriske data, altså interval- eller ratio-skala (se Datatyper og skalaer).
Histogram er ikke et søjlediagram
Det er nemt at forveksle de to, for de ligner hinanden. Men de svarer på hver sit spørgsmål, og forskellen bunder i datatypen.
Et søjlediagram tæller kategoriske data: hvor mange cykler, hvor meget tøj, hvor meget udstyr. Kategorierne har ingen naturlig rækkefølge, så søjlerne kan byttes rundt uden at ændre budskabet, og derfor tegnes de med luft imellem. Et histogram viser derimod numeriske data grupperet i intervaller: hvor mange varer solgte til 0-100 kr., hvor mange til 100-200 og så videre. Her ligger rækkefølgen fast, for tallene er ordnede, og søjlerne rører derfor hinanden for at vise, at aksen er sammenhængende. Med et søjlediagram aflæser man de enkelte kategoriers størrelse; med et histogram aflæser man formen af en fordeling. Vil du grave dybere i, hvornår hvilken graf er den rigtige, har jeg samlet det i det gode diagram.
Kasserne er et valg, ikke en naturlov
Her bliver histogrammet interessant, for du bestemmer selv, hvor brede kasserne skal være, og det valg former billedet. Vælger du for få og brede kasser, glattes alting ud, og et vigtigt mønster kan forsvinde helt. Vælger du for mange og smalle kasser, begynder tilfældige udsving fra observation til observation at ligne rigtige toppe, og signalet drukner i støj. Den rette bredde ligger et sted derimellem.
Læg mærke til, at det er præcis de samme data i alle tre paneler. Med kun fire kasser ser fordelingen næsten flad ud, og man ville aldrig gætte, at der gemmer sig to adskilte toppe. Med tolv kasser træder de to toppe tydeligt frem. Med fireogtyve kasser bliver billedet så finkornet, at tilfældige forskelle mellem nabo-kasser skaber falske spidser. En brugbar tommelfingerregel er at starte med et sted mellem otte og tyve kasser, alt efter hvor mange observationer du har, og så justere, indtil formen står klart uden at være takket. Til syvende og sidst er spørgsmålet ikke, hvad der er “matematisk korrekt”, men hvad der kommunikerer fordelingen ærligst til den, der skal se den.
At læse formen
Når kasserne sidder rigtigt, kan du læse fordelingens karakter direkte af silhuetten. Der er nogle få grundformer, som er værd at kunne genkende med det samme.
En symmetrisk fordeling, som den klokkeformede normalfordeling, har sin tyngde i midten og falder jævnt til begge sider. Her ligger gennemsnit, median og typetal oven i hinanden, og gennemsnittet beskriver det typiske godt. En højreskæv fordeling har en lang hale af høje værdier ude til højre; det er formen på løn, priser, formue og ventetider, hvor de fleste ligger lavt og nogle få stikker langt op. En venstreskæv fordeling er spejlvendt, med en hale af lave værdier til venstre, som man ser ved karakterer i et let fag. Og en bimodal fordeling har to toppe, hvilket næsten altid betyder, at der i virkeligheden er to grupper blandet sammen i ét datasæt, for eksempel et stærkt og et svagt hold. Hvorfor formen betyder så meget for, om gennemsnittet snyder, kan du læse i Gennemsnit kan snyde.
Histogrammet giver dig også en gratis genvej til to andre ting. Bredden af silhuetten er et visuelt billede af spredningen: en smal, høj klokke betyder homogene data, en bred og flad betyder heterogene. Og forholdet mellem gennemsnit og median er en hurtig diagnose af skævheden: ligger de to tæt på hinanden, er fordelingen nogenlunde symmetrisk; ligger de langt fra hinanden, er den skæv, og gennemsnittet er trukket ud mod halen.
Outliers springer i øjnene
Histogrammet er også et af de nemmeste steder at få øje på outliers. En ekstrem værdi viser sig som en enlig lille søjle langt ude for sig selv, adskilt fra resten af fordelingen med et tomt mellemrum. Det er et signal om at se nærmere efter, før du regner videre. Til den systematiske jagt på outliers er boxplottet et godt supplement, fordi det sætter tal på grænserne, men histogrammet er ofte det, der først får dig til at stoppe op.
Sådan laver du et i Excel
I nyere Excel er den letteste vej at markere din talkolonne og vælge histogram under diagramtyperne (det ligger sammen med de øvrige statistikdiagrammer). Excel foreslår selv en kasseinddeling, men du kan og bør selv justere kassebredden samt de intervaller, der opsamler de allerhøjeste og allerlaveste værdier. Vil du hellere have tallene bag søjlerne, kan funktionen =FREKVENS(data; intervaller) tælle, hvor mange observationer der falder i hvert interval, som du så kan tegne som et almindeligt søjlediagram uden mellemrum. Uanset metoden er det vigtigste at være bevidst om aksen: det er kassebredden, der afgør, om formen bliver tydelig eller forsvinder.
Kort sagt
Et histogram er det første, du bør kigge på, når du møder en ny talkolonne. På få sekunder viser det fordelingens form, dens spredning, dens skævhed og eventuelle outliers, altså alt det, gennemsnittet og medianen ikke kan fortælle dig alene. Husk bare, at kassernes bredde er dit valg, og at det valg kan gøre den samme fordeling både tydelig og usynlig. Vælg kasserne, så de fortæller sandheden så klart som muligt.