”Gennemsnittet” er det tal, vi griber efter, når noget skal koges ned til én størrelse: den gennemsnitlige løn, den gennemsnitlige leveringstid, den gennemsnitlige karakter. Det er nemt at regne ud, og det bruger al information i datasættet. Men netop derfor er det også det mest følsomme af alle mål: et gennemsnit kan være helt korrekt udregnet og alligevel give et misvisende billede af, hvad der er typisk.
For at forstå hvornår, skal vi kende de tre centraltal, de tre måder at beskrive midten af et datasæt på. Gennemsnittet (det aritmetiske middeltal) er summen af alle værdier delt med antallet. Det bruger hver eneste observation, hvilket er dets styrke og dets svaghed: en enkelt ekstrem værdi påvirker det direkte. Medianen er den midterste værdi, når tallene sorteres fra mindst til størst; halvdelen ligger under, halvdelen over. Den er upåvirket af, hvor ekstreme yderpunkterne er; kun rækkefølgen tæller. Typetallet (mode) er den værdi, der forekommer hyppigst, og det eneste af de tre, der også giver mening for kategoriske data, hvor man ikke kan regne.
Bemærk, at hvilket centraltal du overhovedet kan bruge, afhænger af skalaen, og dermed også hvornår problemstillingen her giver mening. For nominale data (farve, produktgruppe, postnummer) findes kun typetallet; et ”gennemsnitligt postnummer” er meningsløst, så her kan gennemsnittet slet ikke snyde dig, for du kan ikke regne det. For ordinale data (en tilfredshed fra 1 til 5) kan du bruge typetal og median, men gennemsnittet hviler på en antagelse om, at der er lige langt mellem trinene. Og først for interval- og ratio-data (kroner, kilo, minutter) giver gennemsnittet fuld mening. Det er præcis dér, hvor du må regne mest, at faren for at blive snydt er størst.
Tag det klassiske eksempel: et lille firma med ti ansatte. Ni af dem tjener mellem 30.000 og 40.000 kr. om måneden, mens direktøren tjener 300.000. Gennemsnitslønnen bliver over 60.000 kr., et tal, som ingen af de ti reelt genkender. Medianen, derimod, ligger omkring 35.000 og beskriver den typiske medarbejder præcist. Skriver man i stillingsopslaget, at ”gennemsnitslønnen er 60.000”, er det sandt og samtidig dybt vildledende.
Et endnu skarpere eksempel: det gennemsnitlige antal ben pr. dansker er en anelse under to. Nogle få mennesker har mistet et eller begge ben, og stort set ingen har tre, så gennemsnittet trækkes en lille smule under to. ”Den gennemsnitlige dansker har færre end to ben” er altså en korrekt beregning, men en absurd konklusion. Både medianen og typetallet er to, og de fortæller den ærlige historie: det helt normale er at have to ben.
Den samme mekanisme rammer overalt, hvor nogle få store værdier skiller sig ud. Huspriser er et oplagt sted: sælges der i et kvarter ti huse til omkring to millioner og ét palæ til tyve, ryger gennemsnitsprisen på vildspor, mens medianen holder hovedet koldt. Det gælder også formue, hvor nogle få milliardærer løfter gennemsnittet så meget, at ”den gennemsnitlige formue” siger meget lidt om, hvad folk faktisk ejer. I alle tilfælde er det medianen, der beskriver den typiske dansker.
Hvorfor sker det? Det hele handler om fordelingens form, og her er det lettest at se det grafisk, fx i et histogram.
Er fordelingen symmetrisk, som den klokkeformede normalfordeling, falder alle tre mål oven i hinanden i midten. Her snyder gennemsnittet ikke; det er lige så godt som medianen. Mange naturlige målinger opfører sig sådan, fx voksnes højde eller tilfældige målefejl.
Er fordelingen højreskæv, med en lang hale af høje værdier ude til højre, skubbes de tre mål fra hinanden i rækkefølgen typetal < median < gennemsnit. Halen trækker gennemsnittet opad, væk fra klumpen, hvor de fleste ligger. Det er præcis formen på løn, huspriser, formue, ventetider og indtjeningen på biograffilm: de fleste ligger lavt, og nogle få stikker langt op. Her overvurderer gennemsnittet konsekvent det typiske.
Er fordelingen venstreskæv, med en hale af lave værdier ude til venstre, vender det om: gennemsnit < median < typetal. Nu trækker halen gennemsnittet nedad. Det ses fx ved eksamenskarakterer i et let fag, hvor de fleste klarer sig godt og nogle få dumper, eller ved alder ved pensionering. Her undervurderer gennemsnittet det typiske.
Og fordelingens form kan snyde på flere måder end skævhed. Har du to grupper i samme datasæt, fx et stærkt og et svagt hold, bliver fordelingen bimodal med to toppe. Så lander gennemsnittet midt imellem, nede i ”dalen”, hvor ingen faktisk befinder sig. Gennemsnitskarakteren beskriver da hverken det stærke eller det svage hold; den beskriver en elev, der ikke findes.
En stor del af forklaringen hedder outliers, enkeltværdier, der ligger langt fra resten. Det er dem, der giver gennemsnittet dets akilleshæl: én ekstrem observation kan flytte gennemsnittet markant, mens medianen knap nok rører sig. Derfor kaldes medianen robust. Hvornår en værdi egentlig er en outlier, om den er en fejl eller en ægte sjælden hændelse, og hvad man så stiller op med den, kan du læse mere om i artiklen om outliers.
Og det er ikke bare kosmetik; at vælge det forkerte mål kan koste dyrt. Statistikeren, der druknede, da han vadede over en flod med en gennemsnitsdybde på en halv meter, er den morsomme version; gennemsnittet skjulte, at der midt i floden var fire meter dybt. Den kedelige version møder man i projektplanlægning, hvor den gennemsnitlige opgavevarighed bruges til at love en deadline. Fordi varigheder er højreskæve (de fleste opgaver går hurtigt, men nogle få løber løbsk), undervurderer gennemsnittet systematisk, hvor lang tid det reelt tager, og planen skrider. Eller en webshop, der er stolt af en gennemsnitlig svartid på 200 ms, mens hver tyvende kunde venter i fem sekunder: gennemsnittet ser fint ud, men medianen og de høje percentiler afslører den dårlige oplevelse, der koster salg.
Så hvilket mål skal man vælge? Kort sagt: for symmetriske data uden outliers er gennemsnittet fint og fuldt ud brugbart. Er dataene skæve eller har outliers (løn, priser, tider, varigheder), så foretræk medianen, eller endnu bedre: oplys begge dele, så læseren selv kan se, om de to falder sammen eller ligger langt fra hinanden. Og husk, at skalaen sætter rammen: er data kategoriske, er typetallet det eneste, der overhovedet giver mening. Vil du desuden sætte tal på, hvor samlet eller spredt dataene ligger omkring midten, er det netop, hvad spredning, varians og standardafvigelse måler.
Regnestykkerne er enkle i Excel: =MIDDEL() giver gennemsnittet, =MEDIAN() medianen, og =HYPPIGST.VÆRDI() (tidligere TILSTAND) typetallet. Det svære er ikke at regne dem ud, men at vælge det rigtige, og at huske, at de tre tilsammen ofte fortæller en langt mere ærlig historie end ét af dem alene.
Gennemsnittet er med andre ord ikke forkert. Det er bare kun ét tal, og det antager mere om dine data, end du umiddelbart tror. Så næste gang nogen citerer ”gennemsnittet”, så stil de tre spørgsmål: Hvordan ser fordelingen ud? Hvad er medianen? Og er der outliers, der trækker i tallet?